【Python】微分：極値を求め、グラフに図示する

■極値

関数f(x) = x³ -3x + 1について、導関数f'(x)を求める。

f'(x) = 3x² – 3
f'(x) = 3(x² – 1)
f'(x) = 3(x – 1)(x + 1)

すなわち、x = -1、1のとき、導関数f'(x)の値は0になる。

以下に関数f(x)および導関数f'(x)について、増減表を作成する。

導関数f'(x) = 0のとき、関数f(x)の値を極値（極大値・極小値）と呼ぶ。

■例題

次の関数f(x)について、極値を求め、グラフに図示する。

（1）f(x) = x³ -3x + 1

（2）f(x) = (1/4)x⁴ + (1/3)x³ – x²

■サンプルコード

import sympy
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt


# 微分する関数
def f_diff(y):
    return sympy.diff(y)


# 極値を求める関数
def cal_extremum(y_diff):

    # 微分の結果から極値を求める
    return sympy.solve(y_diff)


def MakeGraph(y, extremum):
    # 便宜上、-2.5から2までの値を0.1間隔で設定
    x_min = -2.5
    x_max = 2
    x_interval = 0.1
    x_val = np.arange(x_min, x_max, x_interval)

    # 関数f(x)を格納する配列
    y_val = []

    # それぞれ配列に格納していく(便宜上、nは0.1間隔でセット)
    for i in range(len(x_val)):
        y_val.append(y.subs(x, x_val[i]))

    # 関数f(x)のグラフを作成
    plt.plot(x_val, y_val, color='blue', label="f(x)")

    # グラフにx軸,y軸（0）を図示
    # 補助線（0）を作成　[axhline：水平　axvline:垂直]
    plt.axhline(y=0, color="gray")
    plt.axvline(x=0, color="gray")

    # x軸・y軸から極値までを点線で作成
    for j in range(len(extremum)):
        # 極値を一時変数に格納
        tmp_x = float(extremum[j])
        # y の値を一時変数に格納
        tmp_y = float(y.subs(x, tmp_x))

        # 補助線を点線で作成　[hlines：水平　vlines:垂直]
        plt.hlines([tmp_y], 0, tmp_x, "gray", linestyles='dashed')
        plt.vlines([tmp_x], 0, tmp_y, "gray", linestyles='dashed')

    # ラベルの表示
    plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='upper left',
               borderaxespad=0, fontsize=8)

    # グラフを表示
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    # 文字列を設定
    x = sympy.Symbol('x')

    # 問題1 f(x)=x**3 - 3x + 1
    y1 = x ** 3 - 3 * x + 1

    # 微分する
    y1_diff = f_diff(y1)

    # 極値（xの値）を求める
    extremum_1 = cal_extremum(y1_diff)

    # 極値を出力
    print('問題1の極値')
    for i in range(len(extremum_1)):
        print('x = ', extremum_1[i])
        print('f(x) = ', y1.subs(x, extremum_1[i]))

    # グラフ作成
    MakeGraph(y1, extremum_1)

    # 問題2 f(x)=(1/4)x**4 + (1/3)x**3 - x**2
    y2 = (1/4) * x ** 4 + (1/3) * x ** 3 - x ** 2

    # 微分する
    y2_diff = f_diff(y2)

    # 極値（xの値）を求める
    extremum_2 = cal_extremum(y2_diff)

    # 極値を出力
    print('問題2の極値')
    for i in range(len(extremum_2)):
        print('x = ', round(extremum_2[i]))
        print('f(x) = ', round(y2.subs(x, extremum_2[i]), 2))

    # グラフ作成
    MakeGraph(y2, extremum_2)

■実行結果

（1）f(x) = x³ -3x + 1

問題1の極値
x =  -1
f(x) =  3
x =  1
f(x) =  -1

（2）f(x) = (1/4)x⁴ + (1/3)x³ – x²

問題2の極値
x =  -2
f(x) =  -2.67
x =  0
f(x) =  0
x =  1
f(x) =  -0.42