【Python】分数数列の和をループ処理で解く

■分数数列

分数数列とは、分母が一定の割合で増減していく数列である。

■部分分数分解

分数数列の和を求める際は、分母の値を2つ数以上の分数の和や差に変形して求める（部分分数分解）。

■分数数列の和の求め方（机上計算）

次の分数数列のについて、第10項までの和を求める。

▼スッテプ1：第k項の値を求める。

↓規則性を調べるために、とりあえず、分母を2で因数分解してみる。

↓各分母について、n番目の値とn+1番目の値を掛け合わせていることがわかる。

したがって、第k項の値は、以下の通り。

▼ステップ2：シグマ（Σ）に値をセットして、計算する。

↓部分分数分解を使用する。

↓シグマ（Σ）の計算：1からnまでの和を求める。

シグマの計算をしていくと、それぞれ同じ色の部分同士で相殺され0になっていく。
したがって、求める式は以下の通り。

▼ステップ3：n=10の時の分数数列の和を求める。

ステップ2で求めた式に10を代入していくと、分数数列の和を求めることができる。

■分数数列の和の求め方（ループ処理）

前項までで、机上による分数数列の和の算出方法を説明したが、pythonのループ処理を使用してしまえば、第k項の値を算出（前項のステップ1まで）できれば、分数数列の和は計算できる。

■例題

ループ処理を使用して、以下の分数数列の和を求める。

▼問題1

▼問題2

■サンプルコード

# -*- Coding:UTF-8 -*-

# 問題1：Σ 1/(k(k+1)), (n=10, k=1)
# 初期値をセット
n = 10
k = 1
sum1 = 0

# kがnになるまでループ処理
while k <= n:

    # 合計を算出
    sum1 = sum1 + (1 / (k * (k + 1)))

    # インクリメント処理
    k += 1

# 少数第2位まで表示
print('問題1：', round(sum1, 2))


# 問題2：Σ 1/(k(k+1)(k+2)), (n=20, k=1)
# 初期値をセット
n = 20
k = 1
sum2 = 0

# kがnになるまでループ処理
while k <= n:

    # 合計を算出
    sum2 = sum2 + (1 / (k * (k + 1) * (k + 2)))

    # インクリメント処理
    k += 1

# 少数第2位まで表示
print('問題2：', round(sum2, 2))

■実行結果

問題1： 0.91
問題2： 0.25