【Python】無限等比級数を求め、グラフに図示する

■無限等比級数

任意の数列a_nについて、各項の和の式（S_n）を級数と呼ぶ。

a_n：a₁、a₂、a₃、a₄、・・・、a_n
↓
S_n：a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋・・・＋a_n

このとき、数列S_nについて、「n = 1、2、・・・、無限」と続く場合を無限級数と呼ぶ。

S₁：a₁
S₂：a₁＋a₂
S₃：a₁＋a₂＋a₃
：
S_n：a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋・・・＋a_n
：
無限に続く・・・。

また、この無限級数において、数列a_nが等比数列（初項a、公比r）の場合、無限等比級数と呼ぶ。

a_n：a、ar、ar²、ar³、・・・、ar^n-1、・・・

そして、この無限等比級数について、数列Snが一定の値に近づくことを収束と呼び、常に増加・減少し続けることを発散と呼ぶ。
無限等比級数が収束する場合、以下の式で表すことができる。

■無限等比級数の収束・発散判定

無限等比級数が収束・発散するかの判定については、下表に示す。

数列a_nが等比数列（初項a、公比r）の場合

また、数列a_nが収束する場合、近似値は以下のように算出できる。

■例題

以下の2つの数列について、等比級数が収束・発散するか判定し、収束する場合は、近似値を求める。
また、数列の和がどのように増加していくかグラフで図示する。

▼問題1

▼問題2

■サンプルコード

# -*- Coding:UTF-8 -*-
import math
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt


# 無限等比級数を判定・算出する関数
def MugenTohiKyusu(a, r):
    # -1 < r < 1 の場合、収束するため、無限等比数を算出する
    if r > -1 and r < 1:
        result = a / (1 - r)
        print('収束')
        print('無限等比数：', result)
    # r <= -1, r >= 1の場合、発散するため、無限等比級数はない
    else:
        print('発散')
        print('無限等比数：なし')


# 等比数列の和を算出する関数
def SumTohiSuretsu(a: int, r: int, n: int) -> float:
    # 合計の初期値をセット
    sum = 0

    # rについて、1、1より小さい、1より大きいで条件分岐
    if r == 1:
        # 公式①
        sum = a * n
    elif r < 1:
        # 公式②
        sum = (a * (1 - (r ** n))) / (1 - r)
    elif r > 1:
        # 公式③
        sum = (a * ((r ** n) - 1)) / (r - 1)

    return sum


# グラフ作成関数
def MakeGraph(a, r):
    # 便宜上、第1から10項までの値を0.1間隔で設定
    n_min = 1
    n_max = 10
    n_interval = 0.1
    n = np.arange(n_min, n_max, n_interval)

    # 等比数列の和を格納する配列
    Sn = []

    # 第1項、1から2項までの和、1から3項までの和・・・1から10項までの和を
    # それぞれ配列に格納していく(便宜上、nは0.1間隔でセット)
    for i in range(len(n)):
        # i番目までの等比数列の和を配列に格納
        Sn.append(SumTohiSuretsu(a, r, n[i]))

    # グラフを作成
    plt.plot(n, Sn)

    # グラフにx軸,y軸（0）を図示
    # 補助線（0）を作成　[axhline：水平　axvline:垂直]
    plt.axhline(y=0, color="gray")
    plt.axvline(x=0, color="gray")

    # グラフを表示
    plt.show()


# メイン処理
if __name__ == '__main__':
    # 問題1
    a1 = 1
    r1 = 1/2
    print('###問題1###')
    MugenTohiKyusu(a1, r1)
    MakeGraph(a1, r1)

    # 問題2
    a2 = 3
    r2 = math.sqrt(3)
    print('###問題2###')
    MugenTohiKyusu(a2, r2)
    MakeGraph(a2, r2)

■実行結果

▼問題1

###問題1###
収束
無限等比数： 2.0

▼問題2

###問題2###
発散
無限等比数：なし