【Python】指数関数を微分しグラフに図示する

■指数関数の微分

▼前提

指数関数（y = a^x）と対数関数（y = log_ax）は逆関数の関係である。
前提として、対数log_axにおいて底「a = e 」とした対数log_exを自然対数と呼ぶ。
自然対数は底を省略し、log xと表記する。

※ e：ネイピア数（2.71828・・・）

▼指数関数の微分の公式

指数関数について、微分の公式を示す。

① a > 0、a ≠ 1　のとき

②

■今回使用するライブラリ

今回使用するライブラリを下表に示す。

■例題1

以下の指数関数を微分する。

（1）

（2）

（3）

（4）

▼サンプルコード

import sympy


# 文字列をセット
x = sympy.Symbol('x')

# (1)f(x) = 2 ** (3x)
print('問題1：', sympy.diff(2 ** (3 * x)))

# (2)f(x) = e ** (2x)
print('問題2：', sympy.diff(sympy.exp(2 * x)))

# (3)f(x) = e ** (-x ** 2)
print('問題3：', sympy.diff(sympy.exp(-x ** 2)))

# (4)f(x) = xe ** (x)
print('問題4：', sympy.diff(x * sympy.exp(x)))

▼実行結果

問題1： 3*2**(3*x)*log(2)
問題2： 2*exp(2*x)
問題3： -2*x*exp(-x**2)
問題4： x*exp(x) + exp(x)

■例題2

例題1の（1）について指数関数f(x)と微分したf'(x)を図示する。
　f(x) = 2^3x
　f'(x) = 3・2^3x・log2

▼サンプルコード

import sympy
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt


# f(x) = 2 ** (3x)
def f(x):
    return 2 ** (3 * x)


# 関数f'(x)=3*2**(3*x)*log(2)
def f_d(x):
    return 3 * 2 ** (3 * x) * sympy.log(2)


def MakeGraph():
    # 便宜上、0.1から5までの値を0.1間隔で設定
    x_min = 0.1
    x_max = 5
    x_interval = 0.1
    x = np.arange(x_min, x_max, x_interval)

    # 関数f(x)を格納する配列
    y = []
    # 導関数f'(x)を格納する配列
    y_d = []

    # それぞれ配列に格納していく(便宜上、nは0.1間隔でセット)
    for i in range(len(x)):
        y.append(f(x[i]))
        y_d.append(f_d(x[i]))

    # 関数f(x)のグラフを作成
    plt.plot(x, y, color='blue', label="f(x)")

    # 導関数f'(x)のグラフを作成
    plt.plot(x, y_d, color='orange', label="f`(x)")

    # グラフにx軸,y軸（0）を図示
    # 補助線（0）を作成　[axhline：水平　axvline:垂直]
    plt.axhline(y=0, color="gray")
    plt.axvline(x=0, color="gray")

    # ラベルの表示
    plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='upper left',
               borderaxespad=0, fontsize=8)

    # グラフを表示
    plt.show()


if __name__ == '__main__':

    MakeGraph()

▼実行結果